双曲线的定义经典语录
双曲线的几何性质（第1课时）
㈠课时目标
1．熟悉双曲线的几何性质。
3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。
㈡教学过程
[情景设置]
叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：
图像（略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤b
对称性对称轴、对称中心
顶点（±a，0）、（±b，0）
离心率e=(几何意义)
（三）探索研究
1．类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
双曲线的.实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。
双曲线与椭圆的几何性质对比如下：
图像（略） （略）
范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R
对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心
顶点（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）
离心率0＜e=＜1
e=＞1
下面继续研究离心率的几何意义：
（a、b、c、e关系：c2=a2+b2， e=＞1）
2。渐近线的发现与论证
根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）
根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）
通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。
我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。
问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？
引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：
y=± =±
当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±
与直线y=± 无限接近。
这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。
直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a， y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。
证法1：如图，设M（x0，y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则
y0= ，M（x0，y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：
∣MQ∣= =
= ．
点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=
故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。
3．离心率的几何意义
∵e=，c＞a， ∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得 ===
e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）
e越大 越大，双曲线开口越大（开阔）
4．巩固练习
求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。
①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程
①M（4， ） ②M（4， ）
[知识应用与解题研究]
例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）
㈣提炼总结
1、双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。
2、渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
3、双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。
前排你的头发随着你的摆动一颤一颤，短粗的马尾辫显得活泼而俏皮，微微翘起的发梢掠过我的笔端，我望着你的背一下子出了神。台上的老师还在小黑板上涂涂写写，简略地画出一个个不怎么标准的双曲线。
我单手托着下巴，笔端在桌面上发出清脆的敲击声，老师一遍一遍地强调：“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴。”
“永远”，“无限接近”，敲击声戛然而止，笔芯在薄纸上重重地划开一道痕。
当我提起这个反比例定义的时候，你出人意料地沉默着。我推推你也没有反应。一如我笑话你的名字很中性时，你也是顿了很久之后抛下一句：“清风徐来，水波不兴”，你一直都很自豪自己的名字出自这样一个名句吧。
我突然想起了，我们经常一起看动漫电影，其中最让人深有感触那个影片我已经不记得片名了，但片中那个名叫远山的男孩寂寞而疲惫的眼神，还有那个被唤作明里的美好女孩淡然的微笑让我感觉心里某个角落里的楼梯被轻轻踩踏，发出尖锐的嘎吱声。
叫做明里的女孩总是那么温柔而又固执，无论是春季时在东京最美的街道拐角处，对小猫咪打招呼时的天真表现，还是候车厅里不会抱怨，被炉火打亮的廋弱身影，抑或在电车的`座位上，不顾时不时的晃动而专心写信的陶醉表情。以至于有关于女孩的点点滴滴，那些珍贵的信件都成了男孩温暖的回忆，也羁绊了男孩一段无望而沉重的思念。
时间并没有改写那些过去，真正累了的是男孩的心，他们彼此的生命里再也没有童话般美好的交集，男孩停了下来，开始麻木地审视自己不停重复如同机械一般的生活，像是回到十三岁那年，并未远去的那些美好，开始一幕幕地回放……
记得最后影片放完的时候我们都还在沉默，回味着这种无奈而苦涩的感觉。突然觉得好心酸，就像突然才明白人生终有悲欢离合，并不都是努力去做了，就什么都可以拥有，挽留，那一种无望的失落感。
这种失落感并不是只存在对影片的看法里，对于梦想这种模糊的东西，你说我对待它的态度总是也一样失落。
我当然不像你，口口声声嚷着要当外交官，那种自信满满，舍我其谁的神情真的很让人佩服，那种不依不饶抓住话题就口水唾沫一起飞的样子让人哭笑不得之余，还夹杂了一份羡慕。
你可能从来都不知道吧，我多希望象你一样，谈到自己的梦想时也有那种不退却的勇气，可是有时候我感觉无阻而迷茫，那些刻意显露着讽刺语气的声音，抑或是我自己对自己的怀疑，让我在闭上眼睛说：“这是我的梦想”时，已经少了坚定的语气。
我无法形容我对梦想所持的态度如同我对那部电影的结局无言以对，用单一的语言无法形容那种渐行渐远的迷茫。但我对他们感觉惋惜的时候，也清楚地明白那种，即将得到却无法触及时慌张的悲凉。
“嘿，你又发什么呆啊，你看练习都丢下去啦。”你无奈地看着我终于转过头，伸手下去拾起练习，上面还工工整整地印着“反比例练习”几个大字。课堂上老师说的话一遍一遍回放着，直到充满了我的心头。
“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴……”
我释然地笑笑，自言自语着：“就像双曲线一样啊。”
你摸不着头脑，转过头询问似地望着我：“啊?”
“你不觉得吗，远山和明里就像是一个在双曲线上，一个在XY轴上，他们只能无限靠近，却被时间冲淡了结果，但这样的结局也没什么不好，起码他们拥有彼此最完整清晰的印象，最刻苦铭心的约定，这个世界不是仙女的魔杖，于是就有了不尽人意的一面，但那双曲线的踪迹，是他们最美好的的想念。”
“是啊，每个人都一样，都有自己无法触及的东西，但只要努力走过，就会留下和双曲线一样最刻苦的踪迹。”
是啊，过去的我总是太在意结果，太伤感，太懦弱，而缺少一颗和双曲线一般坚强无比的心。你知道吗，我一直很欣赏你的名字，风，像是勇敢者的名字，有了目标，于是就拼命前进。
如果我也有和你一样的勇气，我也希望，一边写，一直走，我的笔就是我的脚，点点滴滴，歪歪曲曲地画出双曲线的踪迹，沿着双曲线的踪迹坚定地望着前方，然后无限靠近我心中，那繁花似锦的梦想圣地。
一、教材分析与处理
1、教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
2、学生状况分析：
学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的.观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。
3、 教学目标
（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
4．教学重点、难点
依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。
5、教材处理：
我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。
二、教学方法与教学手段
1、教学方法
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”
双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验， 所以本节课我
采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：
（1）以类比思维作为教学的主线
（2）以自主探究作为学生的学习方法
2、 教学手段
采用多媒体辅助教学。体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。
三、教学过程与设计
为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。
（一）知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义
在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：
（1）椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？
（2）椭圆的标准方程是什么？
